両端固定の棒（直列の不静定）の解き方

両端を剛体壁に固定した棒の中間点 C に軸方向の荷重が掛かる不静定問題の解き方です。つり合い式だけでは足りないところへ変形の適合条件を足して、反力と C 点の変位を求めるまでの手順と、符号の約束、結果の確かめ方をまとめています。

静定と不静定の違い

つり合い式だけで解けるのが静定、解けないのが不静定です。この棒は未知の反力が $R_A$ と $R_B$ の 2 つあるのに対し、軸方向のつり合い式は 1 本しか立ちません。式が 1 本足りないので、力だけを見ていても答えは決まりません。

足りない 1 本は変形から持ってきます。両端の壁は動かないので、棒の全長は荷重を掛けても変わりません。これを式にすると、力のつり合いとは独立した条件がもう 1 本得られます。不静定問題の要点は、この「変形を考える」ところにあります。

棒全体を 1 つの物体と見て、軸方向の力のつり合いを取ります。

R_A + R_B = P

未知数は 2 つ、式は 1 本です。ここで止まるのが不静定問題です。

C 点で棒を切ると、区間1 の軸力は $N_1 = R_A$ （引張）、区間2 の軸力は $N_2 = -R_B$ （圧縮）になります。それぞれの伸びはフックの法則から次のように書けます。

\lambda_1 = \frac{N_1 L_1}{A_1 E_1} = \frac{R_A L_1}{A_1 E_1}, \qquad \lambda_2 = \frac{N_2 L_2}{A_2 E_2} = -\frac{R_B L_2}{A_2 E_2}

両端が動かない以上、棒の全長 $L_1 + L_2$ は変わりません。つまり 2 区間の伸びの和は 0 です。これが変形の適合条件です。

\lambda_1 + \lambda_2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{R_A L_1}{A_1 E_1} = \frac{R_B L_2}{A_2 E_2}

区間ごとのばね定数を $k_i = A_i E_i / L_i$ と置くと、適合条件は $R_A / k_1 = R_B / k_2$ と書けます。これをつり合い式と連立すると、反力と C 点の変位が決まります。

R_A = \frac{k_1}{k_1 + k_2} P, \qquad R_B = \frac{k_2}{k_1 + k_2} P, \qquad \delta_C = \frac{P}{k_1 + k_2}

反力はばね定数の比で配分されます。C 点を挟んで並んだ 2 本のばねが荷重を分け合っている、と見ると分かりやすいはずです。硬い（k の大きい）側が、より大きな反力を受け持ちます。

$A_1 = A_2 = A$ 、 $E_1 = E_2 = E$ のときは $k_1 = AE/L_1$ 、 $k_2 = AE/L_2$ なので、上の式から $AE$ が約分で消えて長さだけの式になります。

R_A = \frac{L_2}{L_1 + L_2} P, \qquad R_B = \frac{L_1}{L_1 + L_2} P

反力は「反対側の区間の長さ」に比例して配分されます。短い側のほうが硬いので、大きな反力を受け持つ、という向きです。材料が何であっても答えが変わらないのは、 $AE$ が約分で消えるためです。段付きにしたり材料を変えたりすると消えなくなり、上のばね定数の式が要ります。

不静定問題は符号の取り違えが最大の落とし穴です。このツールは次の向きを正としています。結果を読むときは必ず確認してください。

量	正とする向き	補足
荷重 P	A から B へ向かう向き	逆向きに掛かるなら P を負の値で入れます。すべての結果の符号がそのまま反転します。
軸力 N	引張	P > 0 のとき、区間1 は引張で正、区間2 は圧縮で負になります。
反力 R	壁が棒を押し返す向き（荷重 P と逆向き）	この向きに取ると P > 0 で両方とも正になり、R_A + R_B = P と書けます。
応力 σ	引張	軸力の符号をそのまま引き継ぎます。負なら圧縮です。
伸び λ	伸び	縮む区間では負になります。2区間の和は 0 です。
C 点の変位 δ_C	A から B へ向かう向き	区間1 の伸び λ₁ と同じ値です。

入力を変えても次の 2 つは必ず成り立ちます。成り立たないときは入力の単位か向きを疑ってください。