Cách giải cấu kiện song song có khe hở ban đầu (siêu tĩnh)

Các cấu kiện có chiều dài khác nhau được kẹp song song giữa tường cứng tuyệt đối và tấm cứng tuyệt đối. Giả thiết tấm cứng không nghiêng mà chỉ tịnh tiến song song với chính nó. Cấu kiện 2 ngắn hơn cấu kiện 1 một đoạn $\delta$, nên chừng nào tấm cứng chưa dịch chuyển được $\delta$ thì nó chưa chịu tải trọng.

1. Cân bằng lực

Đây là phương trình cân bằng các lực tác dụng lên tấm cứng tuyệt đối. Có hai ẩn số là $R_1$ và $R_2$, trong khi chỉ lập được đúng một phương trình, nên không thể giải nếu chỉ có nó (bài toán siêu tĩnh).

2. Tương thích biến dạng

Phương trình còn thiếu được lập từ phía biến dạng. Tấm cứng tuyệt đối không nghiêng mà tịnh tiến song song, nên nếu ký hiệu chuyển vị của nó là $\lambda$ thì cấu kiện 1 co lại một đoạn $\lambda$. Cấu kiện 2 ngắn hơn $\delta$, trong chuyển vị đó có $\delta$ dùng để khép kín khe hở, phần thực sự co lại chỉ là $\lambda - \delta$ còn lại.

Viết định luật Hooke theo chiều dài riêng của từng cấu kiện. Chiều dài của cấu kiện 2 là $L - \delta$, không phải $L$.

3. Giải hệ hai phương trình

Thay hai biểu thức trên vào phương trình cân bằng rồi giải theo $\lambda$.

Khi đã biết $\lambda$, hai phương trình trên cho ngay các phản lực. Coi thanh là thanh tròn thì diện tích mặt cắt và ứng suất lần lượt là $A = \pi D^2 / 4$ và $\sigma = R / A$.

Không dùng phép gần đúng $L - \delta \approx L$. Khi $\delta$ đủ nhỏ so với $L$ thì kết quả gần như không đổi, nhưng công thức vẫn được giữ nguyên dạng chính xác để khi nhập $\delta$ lớn, công thức viết ở đây và kết quả tính toán không mâu thuẫn với nhau.

4. Khi cấu kiện 2 không tiếp xúc

Trong khoảng tải trọng còn nhỏ đến mức $\lambda < \delta$, cấu kiện 2 vẫn chưa chạm vào tấm cứng tuyệt đối nên không chịu lực. Nếu vẫn áp dụng công thức ở mục 3 thì được $\lambda - \delta < 0$, khiến $R_2$ mang dấu âm — nghĩa là “cấu kiện 2 vốn chỉ ngắn hơn lại đang kéo tấm cứng tuyệt đối”, một kết quả không thể xảy ra.

Vì vậy trang tính toán trước hết bỏ qua cấu kiện 2 để tìm $\lambda$ sau đây, và chỉ khi giá trị này đạt từ $\delta$ trở lên mới chuyển sang công thức ở mục 3.

Khi chưa tiếp xúc, độ co, phản lực và ứng suất của cấu kiện 2 đều bằng 0. Trang tính toán hiển thị ngay phía trên phần kết quả rằng đang ở trạng thái nào trong hai trạng thái đó.

Quy ước dấu

Quy ước nén là dương. Lý do là trong mô hình này ngoại lực, phản lực và ứng suất đều nằm về phía nén, nếu lấy kéo làm dương thì mọi giá trị đều hiện dấu âm và khó đọc.