ヘルツの接触応力の求め方

次の 3 つが成り立つ範囲でしか使えません。外れているときは、ここで求めた値は目安にもなりません。

潤滑膜の影響、繰り返し荷重による疲労、表面粗さも含んでいません。転がり軸受の寿命のように、これらが効く問題をこの式だけで判断しないでください。

式に入る前に、2 つの物体の形と材質を、それぞれ 1 つの値へまとめます。この 2 つが決まれば、あとは球か円筒かで式が決まります。

等価曲率半径

形をまとめた値です。逆数どうしの和で決まります。

等価ヤング率

材質をまとめた値です。ポアソン比がここで効きます。

$E_e$ はヤング率と同じ単位を持ちますが、材料のヤング率ではありません。2 つの物体のたわみやすさを 1 つにまとめた、この接触だけの量です。

形が変わっても式は変わりません。$R_e$ の求め方だけが変わります。

相手が平面のとき

平面は曲率半径が無限大の曲面です。$1 / R_2 \to 0$ なので、等価曲率半径は凸面側の半径そのものになります。

相手が凹面のとき

玉軸受の玉と外輪のように、凸面が凹面に収まる場合です。凹面の曲率半径を負の値として扱います。

$R_1 < R_2$ でなければなりません。凸面のほうが大きいと凹面に収まらず、$R_e$ が負になって式が意味を失います。計算ページはこの条件を満たさない入力をエラーにします。

凹面のほうが平面や凸面より $R_e$ が大きくなり、同じ荷重でも接触面が広がって圧力が下がります。軸受の軌道に溝を付けるのはこのためです。

接触面は円になります。その半径を $a$ とします。

2 つの物体の中心が近づく量（接近距離）です。

接触面の圧力は一様ではなく、中心が最も高く、縁で 0 になる半楕円形の分布です。中心からの距離を $r$ とすると次のようになります。

$p_{max}$ は平均圧力の 1.5 倍です（平均は $F / \pi a^2$）。荷重を面積で割った値で確かめると、小さく見積もることになります。

軸を平行に置いた円筒どうしの接触です。接触面は円ではなく帯状になり、その半分の幅を $b$、軸方向の長さを $L$ とします。

圧力の分布は、帯を横切る向きに半楕円形です。

こちらの $p_{max}$ は平均圧力の 4/π ≒ 1.27 倍です。

接近距離は求めていません。線接触では接近量が接触部の外の形にも依存し、ヘルツの式だけでは決まらないためです。計算ページの出力にも含めていません。

$p_{max}$ は接触している面に働く圧力の最大値であって、材料の中で最も大きい応力ではありません。何を確かめたいかで見る量が変わります。

球面接触では、内部の応力は $p_{max}$ に比例する形で表せます。

数値は $\nu$ で変わります。0.31 と 0.48 は $\nu = 0.3$（鋼のおよその値）での数字で、ほかのポアソン比では別の値になります。計算ページはこれらの値を出していません。出しているのは $p_{max}$ までです。